2. Grundlagen des numerischen Rechnens

Eines der Hauptziele der numerischen Mathematik ist es die Genauigkeit bei der maschinellen Berechnung eines mathematischen Problems am Computer zu analysieren und zu beurteilen. In der Regel wird jede numerische Berechnung durch drei mögliche Fehlerquellen gestört:

1. Fehler in den Eingabedaten

2. Rundungsfehler bei der Zahldarstellung

3. Approximationsfehler durch die Annäherung eines mathematischen Problems

Fehler in den Eingabedaten entstehen typischerweise durch Fehler bei der physikalischen Messung dieser Daten, z.B., durch die Beschränkung des Werteraums der Messapparatur oder durch kleine stochastische Störungen wie elektronisches Rauschen.

Rundungsfehler treten natürlicherweise bei der Darstellung einer reellen Zahl mit Hilfe eines Datentyps im Computer auf, der nur eine fixe, endliche Anzahl von Stellen speichern kann.

Approximationsfehler hingegen treten immer dann auf, wenn ein mathematisches Problem numerisch angenähert wird. Beispiele hierfür sind die Approximation von Integralen durch Summen oder die Annäherung einer Ableitung durch Differenzenquotienten. Man spricht in diesem Zusammenhang häufig von der Diskretisierung eines Problems und ihrer Genauigkeit.